\subsection{波函数的标记和分类}

\begin{definition}[][完备力学量组]
    \textbf{Complete set of mechanical quantities}\quad 能够
    对一个量子体系全部状态进行彻底(不出现简并)分类标记的最少数目力学量算符集合,
    称为这个量子体系的"完备力学量组".
\end{definition}

\begin{remark}
    注意,这和"基本力学量组"概念不同.
    前者全体都是彼此对易的：后者全体肯定多于前者，
    是指能够组成量子体系全部力学量算符的最少独立力学量算符集合,
    这个集合中必定有些是相互不对易的.

\end{remark}

\begin{note}
    三维空间de Broglie平面波需用三个本征值$\left(p_x, p_y, p_z\right)$来标记分类,
    缺少一个波函数标记就不完全,出现对该本征值(量子数)的简并.
    显然,标记分类的办法不是惟一的.换一个角度,可以用另外三个本征值来分类和标记这个解集合的元素.
    比如在球坐标下,这个解集合由全体自由粒子球面波(球坐标中三维自由Schrödinger方程解的集合)所组成,
    这时用量子数$(E , l ,m)$来标记和分类.再比如,既可以用量子数$\left(n_x, n_y , n_z\right)$
    来标记三维各向同性谐振子的全部状态,也可以用量子数$(n , l , m)$做到.
\end{note}


由于设定用来分类标记的这组量子数都有确定值,这组量子数所对应的力学量组有共同的本征态,可以同时测量,
必定相互对易.如果这组算符数目选少了就出现态的分类不彻底、波函数标记不明确的现象,
出现量子态对(未被选入的)某个力学量本征值的简并.
为了叙述简明和计算方便,通常选用该体系的守恒力学量作为完备力学量组中各力学量,
就是说,只要可能,最方便的是用好量子数对态进行分类。


应当指出,由于力学量的本征值有的连续变化,有的分立变化,因而不同的量子体系,状态分类和标记有时是连续的,
有时是分立的,有时还两者兼有.甚至同一量子体系,若从不同的观点对其状态进行分类,
也可以有时是分立的有时则是连续的.这要看分类时所选用的算符完备组的性质而定.

\begin{note}
    如氢原子问题,在束缚态问题,也即分立㫮的范围内,可以选能量、
    轨道角动量及其第3分量这三个力学量作完备力学量组,
    对应的好量子数完备集为$\{n l m\}$,本征函数族为
    $\left\{\psi_{\text {nim }}(r), \forall n l m\right\}$ 。
    进一步,考虑电离和散射等非束缚态,还应当包括正能区的连续谱.
    这时可以引入动量数值$\left\{p_x p_y p_z\right\}$来分类,
    也可以仍然采用上述分类$\{n l m\}$ ——将平面波按球面波展开.
    此外,如果问题采用力学量$\boldsymbol{r}$的本征值来分类(通常它不是好量子数),则量子
    态便被标记为关于$r$的一系列(平方可积的)连续函数及其线性叠加.这等于直接用波函数来标记量子状态.
\end{note}

\begin{remark}
    这里只是量子态分类标记,不等于下面取定表象——选定基矢作展开.
\end{remark}


\subsection{Dirac符号}
\begin{definition}[][态空间]
    \textbf{state space}\quad 由态叠加原理可知,一个量子体系的全部状态集合构成一个线性Hilbert空间.
    体系的每一个状态对应Hilbert空间中的一个矢量,称为\textbf{状态矢量},简称\textbf{态矢}.
    所以Hilbert空间又常称为\textbf{态矢空间}(简称\textbf{态空间}).

\end{definition}

通常,量子体系的Hilbert状态空间由全体状态右矢$\ket{A}$构成.
这里记号$A$是对此态矢的任何标识.按上面说法,只要此分类标记办法确切简便即可.
例如,既可以用态矢的波函数$\ket{\psi_{n m m}}$作标记,
也可以直接用好量子数组作标记$\ket{n l m}$;
如果强调态矢随时间变化,也可以记为$\ket{\psi_{n m m}(t)}$;
另外还有$\ket{r^{\prime}},\ket{p^{\prime}}$
等分别是坐标和动量算符的对应本征值为$r^{\prime}$和$p^{\prime}$的本征态,
本征方程为$\hat{r}\ket{r^{\prime}}=r^{\prime}\ket{r^{\prime}}$
和$\hat{p}\ket{p^{\prime}}=p^{\prime}\ket{p^{\prime}}$等。

对应每一个右矢$\ket{A}$还有一个左矢$\bra{A}$,
它与该右矢互为Hermite共轭,即

\begin{equation}
    \bra{ A}=(\ket{A})^{+} ,\quad (\bra{ A})^{+}=\ket{A}
\end{equation}


于是,分别由全体左矢和全体右矢组成两个Hilbert空间,两者互为对偶.
有了左矢和右矢的概念,便可以引入Hilbert空间的范数,即状态之间的标积（投影）
$N \equiv(A, B) \equiv\bra{ A }\ket{ B}$.

定义右矢$\ket{A}$向右矢$\ket{B}$的投影是右矢$\ket{A}$与左矢$\bra{ B}$的标积,即

\begin{equation}
    \bra{ B }\ket{ A}=\text {在态矢}\ket{A} \text {中发现态矢}\ket{B} \text {的概率幅}
\end{equation}

按量子力学基本假设,此式含义若用波函数来表示便是

\begin{equation}
    \bra{ B }\ket{ A}=\int \varphi_B{ }^*(\boldsymbol{r}) \psi_A(\boldsymbol{r}) \mathrm{d} \boldsymbol{r}
\end{equation}

这个标积关于$\ket{A}$是线性的,关于$\bra{ B}$是反线性的.
这可以设想从它们中各自抽出一个相因子,看是否经受复数共轭便可以知道.
由标积定义可知

\begin{equation}
    \bra{ B }\ket{ A}=\bra{ A }\ket{ B}^{\circ}
\end{equation}
显然,标积$\bra{ A }\ket{ A}$是个正数.
为了在态矢空间中进行具体计算,需要选定一组特定的态矢,作为基矢来展开任意态矢.
能够作为基矢的态矢组应当满足两点要求:
\begin{enumerate}
    \item 若要能够展开任意态矢,选作基矢的一组态矢集合必须是"完备的",即满足完备性条件
          \begin{itemize}
              \item 对离散编号情况: $\sum_i\ket{\xi_i}\bra{\xi_i}=I$
              \item 对连续编号情况: $\int\ket{\xi} \mathrm{d} \xi\bra{\xi}=I$
              \item 普遍形式: $\sum_i\ket{\xi_i}\bra{\xi_i }+\int \ket{\xi^{\prime}} \mathrm{d} \xi^{\prime}\bra{\xi^{\prime}}=I$
          \end{itemize}
    \item 为计算方便,每个基矢最好是各自归一,彼此正交的.就是说,规定基矢组$\{\ket{\xi}\}$和$\{\bra{\xi}\}$有如下正交归一性质:
          \begin{itemize}
              \item 分立编号情况：正交归一条件为$\bra{\xi_i }\ket{ \xi_j}=\delta_{i j}$
              \item 连续编号情况：正交归一条件为$\bra{\xi^{\prime} }\ket{ \xi^{\prime \prime}}=\delta\left(\xi^{\prime}-\xi^{\prime \prime}\right)$
              \item 分立编号情况的正交归一条件比如, $\bra{ n}m\ket{ n^{\prime} l^{\prime} m^{\prime}}=\delta_{n n^{\prime}} \delta_{l r^{\prime}} \delta_{m m^{\prime}}$;
              \item 连续编号情况的正交归一条件比如, $\bra{\boldsymbol{r}^{\prime} }\ket{ \boldsymbol{r}^{\prime \prime}}=\delta\left(\boldsymbol{r}^{\prime}-\boldsymbol{r}^{\prime \prime}\right),\bra{\boldsymbol{p}^{\prime} }\ket{ \boldsymbol{p}^{\prime \prime}}=\delta\left(\boldsymbol{p}^{\prime}-\boldsymbol{p}^{\prime \prime}\right)$等 。

          \end{itemize}
\end{enumerate}

\begin{note}
    量子力学的Hilbert空间包含连续表象,正交归一化到$\delta$函数,比$\mathcal{L}^2$空间要大一些,因为$\mathcal{L}^2$空间只包含离散表象。
\end{note}

\begin{proof}
    假定所选基矢是完备的,它应当能够展开任一态矢$\ket{A}$,有

    \begin{equation}
        \ket{A}=\sum_i a_i\ket{\xi_i}+\int a(\xi)\ket{\xi} \mathrm{d} \xi
    \end{equation}

    用分立编号的左基矢$\bra{\xi_j}$乘上式,注意基矢的正交归一性,展开式右边就简化为

    \begin{equation}
        \bra{\xi_j }\ket{ A}=\sum_i a_i\bra{\xi_j }\ket{ \xi_i}=\sum_i a_i \delta_{i j}=a_j
    \end{equation}
    若用连续编号的左基矢$\bra{\xi^{\prime}}$乘上式，类似可得

    \begin{equation}
        \bra{\xi^{\prime} }\ket{ A}=\bra{\xi^{\prime}}\left\{\int a\left(\xi^{\prime \prime}\right)\ket{\xi^{\prime \prime}} \mathrm{d} \xi^{\prime \prime}\right\}=\int a\left(\xi^{\prime \prime}\right) \delta\left(\xi^{\prime}-\xi^{\prime \prime}\right) \mathrm{d} \xi^{\prime \prime}=a\left(\xi^{\prime}\right)
    \end{equation}
    代入即得
    \begin{equation}
        \ket{A}=\sum_i\bra{\xi_i }\ket{ A}\ket{\xi_i}+\int\bra{\xi }\ket{ A}\ket{\xi} \mathrm{d} \xi=\left\{\sum_i\ket{\xi_i}\bra{\xi_i}+\int\ket{ \xi} \mathrm{d} \xi\bra{\xi}\right\}\ket{A}
    \end{equation}

    由于$\ket{A}$的任意性,就得到普遍的完备性条件.
\end{proof}

\begin{note}
    两个态矢$\ket{A}$和$\ket{B}$之间的标积也可以具体地写出来.这时有

    \begin{equation}
        \ket{A}=\sum_i a_i\ket{\xi_i}+\int (a\xi)\ket{\xi} \mathrm{d} \xi, \quad\bra{ B}=\sum_i b_i^*\bra{\xi_i}+\int b^*\left(\xi^{\prime}\right)\bra{\xi^{\prime}} \mathrm{d} \xi^{\prime}
    \end{equation}

    它们的标积为
    \begin{equation}
        \begin{aligned}
            \bra{ B }\ket{ A} & =\sum_i b_i^* a_j \delta_{i j}+\int b^*\left(\xi^{\prime}\right) a(\xi) \delta\left(\xi^{\prime}-\xi\right) \mathrm{d} \xi^{\prime} \mathrm{d} \xi \\
                              & =\sum_i b_i^* a_i+\int b^*(\xi) a(\xi) \mathrm{d} \xi
        \end{aligned}
    \end{equation}

    这正是三维空间中(取定某个Cartesian坐标系之后)两个矢量之间标量积的推广.
\end{note}


根据标积定义的物理解释, $\bra{ B }\ket{ A}$为在$\ket{A}$中发现$\ket{B}$的概率幅,
所以应有

\begin{equation}
    \bra{\boldsymbol{r} }\ket{ A}=\psi_A(\boldsymbol{r})
\end{equation}


这是因为,等式左边的含义是在$A$态中找到粒子位于$r$处的概率幅,
而这正是等式右边$\psi_A(\boldsymbol{r})$的含义.同样,从标积的解释还可以得到
\begin{equation}
    \begin{gathered}
        \bra{\boldsymbol{r} }\ket{ \boldsymbol{p}}=\frac{1}{(2\pi \hbar)^{3/2}} \mathrm{e}^{\mathrm{ip} r / n} \\
        \bra{\boldsymbol{p} }\ket{ \boldsymbol{r}}=\bra{\boldsymbol{r} }\ket{ \boldsymbol{p}}=\frac{1}{(2\pi \hbar)^{3/2}} \mathrm{e}^{-i \boldsymbol{p} / \hbar}
    \end{gathered}
\end{equation}


指数前面的分数是为了保证此类连续态能够归一化到$\delta$函数.例如

\begin{equation}
    \bra{\boldsymbol{r} }\ket{ \boldsymbol{r}^{\prime}}=\int\bra{\boldsymbol{r} }\ket{ \boldsymbol{p}} \mathrm{d} p\bra{ p }\ket{ r^{\prime}}=\frac{1}{(2\pi \hbar)^3} \int \mathrm{e}^{\left(\boldsymbol{p}\left(r_{-}-r^{\prime}\right) \mathrm{h} \mathrm{d}\right.} \mathrm{d} p=\delta\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^{\prime}\right)
\end{equation}

\begin{definition}[][投影算符]
    \textbf{projection operator}\quad 算符

    \begin{equation}
        \pi_A=\ket{A}\bra{ A}
    \end{equation}
    是向态矢$\ket{A}$的"投影算符".

    作用在后面态矢$\ket{B}$上将其向$\ket{A}$态投影,

    \begin{equation}
        \pi_A\ket{B}=\bra{ A }\ket{ B}\ket{A}
    \end{equation}
    同时给出在$\ket{B}$中含有$\ket{A}$的概率幅.

    它的平均值则是在$\ket{B}$态中找到$\ket{A}$态的概率

    \begin{equation}
        \bra{ B}\pi_A\ket{ B}=|\bra{ B }\ket{ A}|^2
    \end{equation}
\end{definition}
投\begin{theorem}[][影算符与完备性]
    \textbf{Shadow operator and completeness}\quad 如果基矢是完备的,
    则向所有基矢投影的投影算符总和应当是一个单位算符
\end{theorem}

\begin{equation}
    1=\bra{ B }\ket{ B}=\bra{ B}\left(\sum_i\ket{\xi_i}\bra{\xi_i}\right)
    \ket{ B}=\sum_i\left|\bra{\xi_i }\ket{ B}\right|^2
    =\sum_i\left|b_i\right|^2
\end{equation}

\begin{note}
    将这些完备性条件作为单位算符,插入运算式中适当地方,转入相应的基矢展式,以便进行具体的运算.
\end{note}

\subsection{Dirac符号的应用}

在后面用Dirac符号作大量具体计算之前,先证明两个广泛使用的态矢等式

\begin{equation}
    \langle r^{\prime}|\hat{p}=-\mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial r^{\prime}}\langle r^{\prime}|, \quad \hat{p}| r^{\prime}\rangle=\mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial r^{\prime}}| r^{\prime}\rangle
\end{equation}

这里$\frac{\partial}{\partial \boldsymbol{r}^{\prime}}=\nabla$,
是$\boldsymbol{r}^{\prime}$坐标系中梯度算符,
只负责对其后变数$\boldsymbol{r}^{\prime}$的函数进行普通的求导,
不参加左右态矢的内积运算. 这两个态矢等式的含义是:将第一（第二）个等式作用到任意的右矢（左矢）上，等号恒成立.
具体含义参考下面证明过程.

\begin{proof}
    用任一态矢$|A\rangle$右乘第一个等式的左边,得$\left\langle r^{\prime}|\hat{p}| A\right\rangle$.
    接着,在态矢$|A\rangle$前方插入动量表象基矢的完备性条件,
    利用$\langle r^{\prime}|\hat{p}| p^{\prime}\rangle=p^{\prime}\langle r \mid p^{\prime}\rangle=p^{\prime} \mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i} p^{\prime}\cdot r^{\prime}}{\hbar}} /(2\pi \hbar)^{3/2}$,得
    \begin{equation}
        \begin{aligned}
            \langle r^{\prime}|\hat{p}| A\rangle & =\int\langle r^{\prime}|\hat{p}| p^{\prime}\rangle\langle p^{\prime} \mid A\rangle \mathrm{d} p^{\prime}                                                                                \\
                                                 & =\int p^{\prime} \mathrm{e}^{p^{\prime} r^{\prime \prime h}} \psi_A\left(p^{\prime}\right) \frac{\mathrm{d} p^{\prime}}{(2\pi \hbar)^{3/2}}                                             \\
                                                 & =-\mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial r^{\prime}} \int \mathrm{e}^{p^{\prime} r^{\prime} / h} \psi_A\left(p^{\prime}\right) \frac{\mathrm{d} p^{\prime}}{(2\pi \hbar)^{3/2}}      \\
                                                 & =-\mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial r^{\prime}} \psi_A\left(r^{\prime}\right)=-\mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial r^{\prime}}\left\langle r^{\prime} \mid A\right\rangle
        \end{aligned}
    \end{equation}


    由于$|A\rangle$是任意的并且不依赖于变数$r^{\prime}$,可从等式两边除去它. 这表明存在如下左矢等式:

    \begin{equation}
        \left\langle r^{\prime}\right| \hat{\boldsymbol{p}}=-\mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial \boldsymbol{r}^{\prime}}\left\langle r^{\prime}\right|
    \end{equation}
\end{proof}

第二个等式其实是第一个等式的Hermite共轴,也可作类似的证明.
值得注意的是,这里等式左边的$\hat{p}$是量子力学的动量算符,
而等式右边的$\mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial r^{\prime}}$
只是对右矢$\left|\boldsymbol{r}^{\prime}\right\rangle$中
本征值$\boldsymbol{r}^{\prime}$的求导运算,不参与左右态矢内积运算.
这从上面证明过程可以清楚地看出.类似地,还有另外两个态矢等式

\begin{equation}
    \hat{r}\left|p^{\prime}\right\rangle=-\mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial p^{\prime}}\left|p^{\prime}\right\rangle, \quad\left\langle p^{\prime}\right| \hat{r}=\mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial p^{\prime}}\left\langle p^{\prime}\right|
\end{equation}

可以插入坐标表象的完备条件进行类似证明.

\subsection{Dirac符号的局限性}
用Dirac符号表示的矩阵元$\langle A|\hat{\Omega}| B\rangle$可以有两种不同的理解:

\begin{equation}
    \langle A|\hat{\Omega}| B\rangle=\langle A|\{\hat{\Omega}|B\rangle\} \text {或}\{\langle A| \hat{\Omega}\}|B\rangle
\end{equation}
如前面所说，这里的左矢$\{\langle A| \hat{\Omega}\}$应理解为
右矢$\left\{\hat{\Omega}^{+}|A\rangle\right\}$的Hermite共轭。
若$\hat{\Omega}$是Hermite和幺正这两类算符(更一般地,只要$\hat{\Omega}$是线性算符),
两种理解结果相同,于是这种含混不会引起问题.因为,不论$\hat{\Omega}$是Hermite还是幺正,都有

\begin{equation}
    \begin{aligned}
        \langle A| \cdot\{\hat{\Omega}|B\rangle\} & =\langle A \mid \hat{\Omega} B\rangle=\left\langle\hat{\Omega}^{+} A \mid B\right\rangle=\left\{\left\langle B \mid \hat{\Omega}^{+} A\right\rangle\right\}^{+} \\
                                                  & =\left\{\langle B|\left(\hat{\Omega}^{+}|A\rangle\right)\right\}^{+}=\{\langle A| \hat{\Omega}\} \cdot|B\rangle
    \end{aligned}
\end{equation}


从标积两种表示相等
$\left((A, \hat{\Omega} B)=\left(\hat{\Omega}^{+} A, B\right)\right)$
也可以看出这一点.但是,当$\hat{\Omega}$为反线性算符(如时间反演算符$\hat{T}$ )时,
这两种理解将导致不同的结果.这是因为,反线性算符$\hat{\pi}$不存在通常意义下的
Hermite共轭算符$\hat{\pi}^{+}$(参见前面反线性算符的Hermite共轭算符定义)

\begin{equation}
    (A, \hat{\pi} B) \neq\left(\hat{\pi}^{+} A, B\right)
\end{equation}

此式左边关于$A,B$都是反线性的,而右边(不论$\hat{\pi}^{+}$取何形式)关于$A, B$都是线性的,
所以不论算符$\hat{\pi}^{+}$取何形式都无法使这个等式成立.也就是说,有
(1)第二种理解$\{\langle A| \Omega\}|B\rangle$相应于$\left(\hat{\Omega}^{+} A, B\right)$.因为$\langle A| \hat{\Omega}^{\prime}=\left(\hat{\Omega}^{+}|A\rangle\right)^*=\left(\left|\hat{\Omega}^{+} A\right\rangle\right)^{+}=\left\langle\hat{\Omega}^{+} A\right|$.

\begin{equation}
    \langle A|\{\hat{\pi}|B\rangle\} \neq\{\langle A| \hat{\pi}\}|B\rangle
\end{equation}

因为左边的标积关于$A , B$均为反线性的,而右边的标积关于$A , B$均为线性的.由此分析可知,必须分辩下面两种情况:

\begin{equation}
    \langle A|\{\hat{n}|B\rangle\} \text {和}\{\langle A| \hat{\pi}\}|B\rangle
\end{equation}

或者返回到更精密的记号

\begin{equation}
    \langle A, \hat{\pi} B\rangle \equiv\langle A \mid \hat{\pi} B\rangle \text {或}\langle\hat{\pi} A, B\rangle \equiv\langle\hat{\pi} A \mid B\rangle
\end{equation}
